Ведущий производитель и
EPC - подрядчик в области газоразделения
  • Печать
  • Карта сайта
  • Казахский
+7 (495) 777-77-34
Техническая поддержка +7 (926) 444-77-34
Свернуть
Работа в Грасис

Корпоративный календарь НПК «Грасис» на 2018 год. Октябрь

Парадокс мальчика и девочки


Впервые парадокс был сформулирован в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из его самых ранних вариантов в журнале Scientific American:

  1. У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?
  2. 2. У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?

Ответить на первый вопрос довольно просто. Для семьи с двумя детьми возможны 4 ситуации: «2 девочки», «2 мальчика», «старшая девочка и мальчик» и «старший мальчик и девочка». Только два варианта — «2 девочки» и «старшая девочка и мальчик» — подходят по условиям «старший ребенок — девочка». Получается, что только в одном случае из двух возможных у мистера Джонса будет две девочки, т.е. ответ на первый вопрос — ½.

Трудности возникают с поиском решения второй задачи. На первый взгляд, ее формулировка отличается только тем, что не указано, является ли мальчик старшим ребенком или младшим - это не важно. Не трудно увидеть, что условиям «хотя бы один мальчик» соответствуют уже 3 ситуации. Используя логику решения первой задачи, получаем ответ - ⅓. Его же и предложил Гарднер.

Но он ошибся. Отличие формулировки второго вопроса от первого оказалось намного глубже, чем кажется. Парадокс заключается в том, что в данном случае искомая вероятность зависит от способа отбора семей, удовлетворяющих условиям задачи.

Объяснение парадокса

В ответ на критику со стороны читателей Гарднер соглашается, что из-за «невозможности детально описать процедуру выбора подходящих семей», его изначальная формулировка имеет два способа ее интерпретации:

  1. Из всех семей с двумя детьми, где хотя бы один мальчик, выбрана произвольная семья. В этом случае ответ ⅓.
  2. Из всех семей с двумя детьми один ребёнок выбирается случайным образом, и пол этого ребёнка сообщается (т.е. говорится либо «хотя бы один ребёнок — мальчик», либо «хотя бы один ребёнок — девочка»). В этом случае ответ ½.

Старший ребёнок Младший ребёнок
Девочка Девочка
Девочка Мальчик
Мальчик Девочка
Мальчик Мальчик

Однако, если сначала была выбрана семья, а потом проверен пол одного из детей, то правильным способом подсчёта будет уже вычисление условной вероятности для каждого случая. В таблице описаны все возможные случаи.

Старший ребёнок Младший ребёнок Вероятность события
Семья с такими детьми Хотя бы один мальчик в данной семье Хотя бы один мальчик и данная семья
Девочка Девочка ¼ 0 0
Девочка Мальчик ¼ ½
Мальчик Девочка ¼ ½
Мальчик Мальчик ¼ 1 ¼

Таким образом, если факт наличия хотя бы одного мальчика установлен случайным образом, вероятность двух сыновей будет равна (¼)/(0+⅛+⅛+¼) = ½

Интересные факты

Нарезка на равновероятные события.

Классическая модель теории вероятности рассматривает фиксированный набор возможных исходов, такой исход называется элементарным исходом.

В контексте нашей задачи есть два варианта для набора элементарных исходов:

  • Первый: ММ, ДМ, ДД и МД, итого четыре элементарных события.
  • Второй: ДД, МД=ДМ и ММ, итого три элементарных события

Классическое определение вероятности события.

Если событию А соответствует k благоприятных исходов, а всего исходов N. То вероятность события A будет равна k / N.

Probability по-английски «вероятность», поэтому для ее обозначения используют букву P. Тогда наше определение можно записать формулой P(A) = k / N.

пирог

Если пирог разрезать на 6 кусков и дать случайный из них гостю то будет 6 элементарных событий соотвествующих каждому кускуВ контексте нашей задачи событие А это — второй ребенок “девочка”. Соответственно: в первом случае будет один благоприятный исход (ДД) из трех возможных (ДМ, ДД, МД), то есть 1/3.


Не является публичной офертой
Сервис обратного звонка RedConnect